“For I haven't got a clue” (Pour lequel je n'ai pas d'indice - Chanson Hello de Lionel Richie) par Brindefantaisie

Rappel du Calcul étrange : Faites donc cette multiplication 13837 x (votre âge) x 73 = Oui, je sais, c'est surprenant !!!. On se souvient de ce dialogue énigmatique et inoubliable avec Louis Jouvet dans Drôle de Drame de Marcel Carné : - Moi, j'ai dit bizarre, bizarre, comme c'est étrange ! Pourquoi aurais je dit bizarre, bizarre ? - Je vous assure mon cher cousin, que vous avez dit bizarre, bizarre. - Moi, j'ai dit bizarre, comme c'est bizarre !" J’aime aussi citer, comme le fait régulièrement Jean-Claude Ameisen, Einstein qui estimait que : « le plus beau sentiment qu’on puisse éprouver, c’est le sens du mystère, c’est la source de tout art véritable, de toute vraie science. Celui qui n’a jamais connu cette émotion, qui ne possède pas le don d’émerveillement ni de ravissement, autant vaudrait qu’il fût mort : ces yeux sont fermés. » Nombre de personnes ne se sentent pas créatives et subissent leur vie, car elles restent aveugles aux ressources qui se cachent en elle. Un autre très grand mathématicien Cédric Villani déclare que sa vie se découpe en moments, selon l’avancement de ses recherches : « Je vis quatre phases toujours renouvelées, explique-t-il. Le prologue d’abord : plusieurs problèmes tourbillonnent dans ma tête jusqu’à ce que l’un s’approche plus près. Vient ensuite la première phase, où je ne comprends rien. Darwin disait qu’un matheux est comme un aveugle, qui, dans une pièce complètement noire, cherche à voir un chat noir qui n’existe pas ! Au cours de la deuxième phase, ma préférée, je perçois une petite lueur. A la troisième, je comprends tout, d’un coup. Je suis très fier, je multiplie les conférences. Puis à l’heure de la quatrième phase, je maîtrise tellement le problème que je me demande pourquoi je me suis intéressé à quelque chose de si simple ! C’est le signe que je suis prêt à attaquer un nouveau cycle.» A mon plus modeste niveau, au lycée, j’ai eu un professeur de mathématiques qui avait une autorité naturelle, donc on écoutait (ou je rêvais régulièrement mais il me rappelait à l'ordre) pendant ses cours. En tout cas, c’était quelqu’un de très humain et un bon pédagogue puisqu’il inscrivait toujours des encouragements sur nos devoirs maison, même aux élèves moyens dont je faisais partie, ce qui donne toujours plus confiance en soi et envie de progresser. Un jour, il nous a donné un ‘tuyau’ pour trouver la solution à un problème mathématique : il faut comme dans les labyrinthes que l’on voit parfois dessinés (et dont on doit trouver l’issue) dans certains journaux, partir de la fin et « remonter » le fil d’Ariane. Or, the Dreamer, comme toute personne qui a utilisé une calculatrice a trouvé pour son âge, 42 ans, un résultat de 42424242, soit son âge répété 4 fois. Mais on se doute bien que ce résultat un peu surprenant est valable pour n’importe quel âge. On en déduit (le 'modèle hypothético-déductif' ou la 'méthode hypothético-déductive', très utilisé(e), désignent une méthode de construction de théories ou de modèles de simulation sur la base d'hypothèses et de déductions tirées de celles-ci, elle a été inventée par les mathématiciens Grecs auxquels notre civilisation doit énormément) que cela ne dépend pas de l’âge mais des deux autres nombres. Comme Magic One l’a fait, on utilise sa calculatrice pour la multiplication 13837x73 =......... On trouve un nombre un peu bizarre : 1010101 ; on pense alors qu’il est le nœud du ‘problème’ et que c’est grâce à lui que l’on va trouver la solution. Commence alors ce que Cédric Villani appelle une période de cogitation floue où l’on est un peu dans le brouillard… Puis, si on se souvient de quelques uns de ses cours, on tâtonne, pour un problème complexe on se trompe souvent en suivant des pistes qui s’avèrent au final ne pas en être, mais on recommence (la ténacité est nécessaire), l’esprit fait alors aussi son œuvre de manière ‘souterraine’, puis la solution surgit, la plupart du temps, à un moment inattendu (dans sa salle de bain ou autre). Pour résumer, je dirais que c’est un mélange de connaissances, d’intuition et de travail du cerveau à notre insu et, qui sait, peut-être aussi d'inspiration. En fait, le processus est assez similaire à celui de la création artistique car je tâtonne aussi beaucoup avant de réussir un dessin pour lequel j’utilise aussi mes cours. Voici donc la solution de ‘l’énigme’: Faisons tout d'abord un petit rappel de vocabulaire: En système décimal, les dix chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.’, ceux-ci ont été inventés en Inde. Un chiffre est un symbole utilisé pour représenter les nombres. Or, que ce soit pour l’addition ou la multiplication, on peut mettre (‘bouger’) les nombres dans n’importe quel ordre, on obtient toujours le même résultat. Par exemple : 2x3x4 =2x4x3 = 3x4x2 = 24, on dit que la multiplication est associative Parce que cette propriété de la multiplication et de l’addition a été nommée l’associativité. En effet, les mathématiques sont un langage comme un autre avec un vocabulaire qui correspond à une définition que l’on utilise stricto sensu. On s’aperçoit aussi qu’on peut généraliser ce résultat à tous les nombres entiers que l’on désigne alors communément par des lettres a, b et c ou x, y, z. (Les lettres sont là pour signifier une généralisation indiquant que l’on peut mettre n’importe quel nombre entier à leur place). C’est ce que l’on appelle la loi d'associativité. Définition : Une loi de composition interne sur un ensemble X est dite associative si, pour tous éléments a, b et c de X, (a x b) x c = a x (b x c) Ces propriétés font partie des règles du 'jeu' mathématique. Par conséquent : Appelons n votre âge (quel qu’il soit, c’est là toute la force des maths, cette possibilité de généraliser mais uniquement après avoir démontré !) et j’ai symbolisé la multiplication par un petit x 13837 x n x 73 =13837 x 73 x n = (13837 x 73) x n = (1010101) x n = (1000000+10000+100+1) x n est égal, d’après la loi de distributivité qui est expliquée plus bas(*)=(1 000 000 x n) + (10 000 x n) + (100 x n) + (1 x n) = n 000 000 + n0 000 + n00 + n, quel que soit le nombre n entier (ici, votre âge) Exemple explicatif : dans mon cas (45 ans ; oui, ça y est ! j’ai pratiquement terminé ma crise de la quarantaine…) : 13837 x 45 x 73 = (13837 x 73) x 45 = (1.010.101) x 45 = (1.000.000 + 10.000 +100 + 1) x 45 = (1.000.000 x 45) + (10.000 x 45) + (100 x 45) +(1 x 45) = 45.000.000 + 450.000 + 4.500 + 45 = 45.454.545 ou 45454545 (45 répété 4 fois). CQFD (Ce Qu’il Fallait Démontrer !) La ‘clé’ a donc été la décomposition de 1010101. Voilà, l'énigme mathématique qui n'en était pas une est résolue. P.S. : Morgane, la fée québécoise, pense que c'est comme la magie, dès qu'on connaît le truc, ça perd de sa beauté... (*) Explications pour la distributivité (pour ceux qui auraient oublié): 1. A quoi ça sert ? La distributivité permet de faciliter une multiplication ou une division. On décompose un des nombres et on le distribue à l'autre nombre en utilisant l'addition ou la soustraction 2. Comment calculer ? Tout d'abord on décompose un des deux nombres pour obtenir des opérations faciles : • dans la multiplication un des termes de la décomposition sera 0,1 - 1 - 10 - 100 - 1000 - 2 - 3 - 4 - 20 - 30 - 40 , ... (exemple : 28 = 30 - 2 plutôt que 28 = 20 + 8 car il est plus difficile de multiplier par 8 dans sa tête) • dans la division le dividende sera décomposé en multiples du diviseur (exemple : 6440 : 7 on décomposera 6440 en 6300 + 140 car ce sont deux multiples de 7 plutôt que 6000 + 400 + 40 qui ne sont pas des multiples de 7) Multiplication sur l'addition : 11 x 25 = ( 10 x 25 ) + ( 1 x 25 ) = 250 + 25 = 275 car 11 = 10 + 1 Multiplication sur la soustraction : 36 x 0,9 = ( 36 x 1 ) - ( 36 x 0,1 ) = 36 - 3,6 = 32,4 car 0,9 = 1 - 0,1 Division sur l'addition : 56 : 4 = ( 40 : 4 ) + ( 16 : 4 ) = 10 + 4 = 14 car 56 = 40 + 16 Division sur la soustraction : 57 : 3 = ( 60 : 3 ) - ( 3 : 3 ) = 20 - 1 = 19 car 57 = 60 - 3 3. Remarque Dans la division, on ne peut jamais décomposer le diviseur. Il faut décomposer le dividende. Autre résumé (peut-être plus clair ?) des Règles de la distributivité - cours de 5e / 4e : La multiplication est dite distributive par rapport à l'addition, c'est-à-dire que : k x (a + b) = (k x a) + (k x b) Exemple : 8 x (3 + 5) = (8 x 3) + (8 x 5) Mais aussi : ( a + b ) x k = ( a x k ) + ( b x k ) Exemple : (4 + 9 ) x 3 = ( 4 x 3 ) + ( 9 x 3 ) Evidemment la multiplication est aussi distributive par rapport à la soustraction Exemple : 8 x (7 - 3) = (8 x 7) - (8 x 3) Ceci s'utilise avec un multipliant (k) mais aussi de la même manière que précédemment avec plusieurs multipliants : ( a + b ) x (c + d ) = ( a x c ) + ( a x d ) + ( b x c ) + ( b x d ) Exemple : ( 4 + 6 ) x ( 8 + 2 ) = ( 4 x 8 ) + (4 x 2 ) + (6 x 8 ) + ( 6 x 2 ) P.S. Utilisez une calculatrice pour vérifier si vous en doutez encore !