Fractales explosives par Jules Félix

Il y a quelques semaines, sur Arte ou France 5 (je confonds souvent), il y avait eu un documentaire fort intéressant sur la géométrie. Et dans ce film, on y parlait d’un des objets mathématiques les plus intéressants récemment inventés : les fractales. Parmi les plus jolies figures, il y avait l’ensemble de Mandelbrot, qui a pour particularité de reproduire la même figure même si on la zoome sans arrêt. Un peu à l’instar de l’ADN qui reproduit l’un et le tout dans chaque organe. Cette figure a été obtenue pour la première fois le 1er mars 1980 dans un labo d’IBM à New York. La figure est d’autant plus connue qu’elle a été adoptée par plein de monde, des chanteurs, des publicitaires etc. La figure : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg Un point de zoom de cette figure : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/18/Mandelpart2.jpg Des zooms de zooms : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Mandelzoom.jpg L’animation sur wikipédia résume pas mal ce concept homothétique : http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/Mandelbrot_sequence_new.gif L’équation de la figure est assez simple et représente l’ensemble des nombres complexes c tels que la suite de nombres complexes définie ainsi : z(0) = 0 z(n+1) = z(n)2 + c, c étant un nombre complexe constant. (Le 2 correspond au carré, pas facile de faire de maths sur pcc sans pouvoir mettre d’exposant ni d’indice). …tels que cette suite, donc, présente un module borné, c’est-à-dire tels que si l’on fait tendre n vers l’infini, le module de la suite z(n) ne s’enflamme pas vers l’infini. On peut aussi définir d’autres ensembles en considérant non pas au carré mais à la puissance p le terme z(n) ou encore en considérant z non pas comme un nombre complexe mais un nombre plus large (de dimension quatre, par exemple, un quaternion). Ces ensembles de Mandelbrot sont le développement particulier d’autres fractales inventées en 1918 par le mathématicien français Gaston Julia (1893-1978) appelées ensembles de Julia. L’ensemble de Julia est l’ensemble des complexes z(0) (qui peuvent être non nuls) pour lesquels le module de la suite z(n) est borné. L’ensemble de Mandelbrot donne tous les paramètres c de la famille des ensembles de Julia qui sont connexes (c’est-à-dire, qui sont des figures "d’un seul morceau"). On peut voir la relation entre les deux familles d’ensembles (Mandelbrot et Julia) en téléchargeant cette publi : http://minilien.fr/a0lvkj À quoi ça sert ? Cela sert surtout à mettre une représentation mathématique sur les fluctuations. Et là, il y a beaucoup d’applications, de la forme des poumons aux prévisions financières en passant par l’hydrologie, le contour du littoral et même la structure des récits. L’inventeur de ces ensembles, c’est le mathématicien Benoît Mandelbrot. Il vient de s’éteindre ce jeudi 14 octobre 2010 à presque quatre-vingt-six ans des suites d'un cancer. D’origine polonaise et basé à la fois aux États-Unis et en France, il a été l’un de grands mathématiciens de notre époque malgré la très faible reconnaissance qu’il a eue. Neveu d’un prof au Collège de France, il fut polytechnicien (après une préparation au prestigieux lycée du Parc à Lyon), et quitta la France pour les États-Unis afin d’avoir plus de liberté de réflexion. Il fut prof à Yale et au CNAM, alternant des périodes américaines et françaises. Son idée créatrice, c’était de se focaliser sur les fluctuations aléatoires des phénomènes, rarement prises en compte par les scientifiques. René Thom (qui a bossé sur la théorie du chaos) travailla également sur ce sujet (ainsi que le physicien quantique Léon Brillouin qui s’est intéressé à la théorie de l’information et a fait, à la suite d’une livre en 1964, une grande pub à Mandelbrot qui devint célèbre aux États-Unis ; Brillouin, lui aussi, fut d’ailleurs un Français peu reconnu qui préféra émigrer aux États-Unis). C’est Benoît Mandelbrot qui a inventé le mot même de fractale en 1974 pour désigner une figure géométrique qui se répète par homothétie interne. Il y a exactement un an, de passage à Paris pour le film documentaire "Fractales, à la recherche de la dimension cachée" (sans doute le documentaire que j’ai vu récemment), Benoît Mandelbrot insistait lourdement sur l’absence de démarche scientifique des milieux financiers (il avait déjà alerté dès 1964 et encore en 2004 avec son livre "Une approche fractale des marchés", éd. Odile Jacob). Pour lui, tout est parti d’une théorie mathématique trop simpliste et vieille de 1900 : « Cette théorie ne prends pas en compte les changements de prix instantanés qui sont pourtant la règle en économie. Elle met des informations sous le tapis. Ce qui fausse les moyennes. Cette théorie affirme donc qu’elle ne fait prendre que des risques infimes, ce qui est faux. Il était inévitable que des choses très graves se produisent. Les catastrophes financières sont souvent dues à des phénomènes très visibles, mais que les experts n’ont pas voulu voir. Sous le tapis, on met l’explosif ! » Avec les nombreux nouveaux produits financiers, très sophistiqués, les financiers n’ont pas su prendre la mesure exacte du risque à long terme qu’il faisait prendre à leur banque ou à leurs clients. Depuis de nombreuses années, Benoît Mandelbrot demandait aux patrons des banques qu’il rencontrait régulièrement de recruter des chercheurs pour faire des mathématiques fondamentales mais non seulement il n’a pas été écouté mais les docteurs qu’il avait formés le reniaient également pour réussir leur carrière dans la finance. Benoît Mandelbrot était en train de rédiger son autobiographie, pour raconter une existence finalement pas si éloignée de celle d’un Georges Charpak, quand la grande faucheuse est venue lui couper l’herbe sous les pieds… à grands coups de fractales. L’interview dans "Le Monde" daté du 18 octobre 2009 : http://www.lemonde.fr/imprimer/article/2009/10/17/1255238.html Une photo récente de Benoît Mandelbrot : http://minilien.fr/a0lvkk Ah. Précision, le documentaire que j’ai évoqué avait été diffusé sur Arte le vendredi 24 septembre 2010 à 22h48 : http://minilien.fr/a0lvkl